Weg eines Minigolfballs
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Punkt mit t=0
Beim Punkt \(B_0\) ist \(t=0\). Daraus ergibt sich der Punkt \(B_0(-5 | 0 | 0)\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Punkt der seitlichen Begrenzung
Da sowohl der Punkt \(P\) als auch Punkt \(Q\) den \(x_1\)-Wert \(-\frac{25}{2}\) haben, gilt auch für den seitlichen Begrenzungspunkt \(x_1=-\frac{25}{2}\).
\( \quad \begin{array}{ r c l l } -\frac{25}{2} & = & -5 -3t & | + 3t \\[6pt] 3t -\frac{25}{2} & = & -5 & | : + \frac{25}{2} \\[6pt] 3t & = & 7{,}5 & | \; : 3 \\[6pt] t & = & 2{,}5 & \\ \end{array} \)
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Daraus ergeben sich die Koordinaten
\( \quad \begin{array}{ c c r c l c r } x_1 & = & - 5 & - & 3 \cdot 2{,}5 & = & -\frac{25}{2} \\[6pt] x_2 & = & -8 \cdot 2{,}5 & + & \frac{8}{3} \cdot 2{,}5^2 & = & -\frac{10}{3} \\[6pt] x_3 & = & 6 \cdot 2{,}5 & - & 2 \cdot 2{,}5^2 & = & \frac{5}{2} \\ \end{array} \)
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mit dem Punkt \(B_{2{,}5}\left(-\frac{25}{2} \Bigl| -\frac{10}{3} \Bigl| \frac{5}{2} \right)\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – maximale Höhe
Die Höhe über dem Untergrund wird beschrieben durch \(x_3\) , wobei wir sagen, dass
\( \quad x_3(t) \; = \; 6t - 2t^2 \)
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ist. Für das Maximum der Höhe gilt die notwendige Bedingung \(x_3'(t) = 0\) mit
\( \quad x_3'(t) \; = \; 6 - 4t \)
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Es folgt
\( \quad \begin{array}{ c c l l } 0 & = & 6 - 4t & | + 4t \\[6pt] 4t & = & 6 & | : 4 \\[6pt] t & = & 1{,}5 \\ \end{array} \)
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Es gilt die hinreichende Bedingung \(x_3''(t) \not= 0\).
\( \quad \begin{array}{ l c l l l } x_3''(t) & = & - 4 \\[6pt] x_3''(1{,}5) & = & - 4 & < & 0\; \Rightarrow \; \textrm{Maximum}\\ \end{array} \)
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Die maximale Höhe über dem Untergrund ist
\( \quad x_3(1{,}5) \; = \; 6 \cdot 1{,}5 - 2 \cdot 1{,}5^2 \; = \; 4{,}5 \, m \; = \; 450 \, cm \)
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